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28 octobre 2017 @ 04:03
Y a-t-il un ordre intrinsèques aux mathématiques ?  
Les mathématiques peuvent facilement donner l'impression d'une construction formelle monolithique, intemporelle et un peu éthérée.

Il est assez facile d'arguer que tout ce qui paraît culturel dans les mathématiques n'est qu'un vernis superficiel tout à fait arbitraire, qu'on pourrait remplacer sans changer substantiellement les idées profondes qui existent derrière. Typiquement, l'utilisation de la lettre grecque π pour exprimer le rapport entre diamètre et circonférence d'un cercle est manifestement une convention tout à fait arbitraire et n'importe quel autre symbole pourrait aussi bien faire l'affaire. Du reste, certains ont proposé d'utiliser le rapport entre rayon et circonférence à la place τ = 2π.
Pour autant, à côté de ce vernis culturel, il y a, je pense, une autre problématique, plus subtile, qui laisse à penser que les mathématiques, en admettant qu'elles sont découvertes et non construites, sont découvertes selon des lignes culturelles.
Si on y réfléchit un peu, il n'y a pas de raison pour laquelle la théorie des langages formels n'aurait pas pu être dévelopée dès le XVIIIe siècle, voire avant. Il se trouve qu'en Inde, Ve siècle av. J.-C., le grammairien Pāṇini employait déjà des constructions formelles comparables aux grammaires non-contextuelles.
Pour autant, la théorie des langages formels moderne n'a été véritablement développée qu'après l'invention de l'ordinateur, et ce n'est pas une coïncidence mais bien plutôt en grande partie parce que faire de la manipulation symbolique à grande échelle la rendait tout à la fois possible et nécessaire.
Du reste, puisque je parle de l'ordinateur, on peut s'arrêter un moment sur les modèles de calcul théoriques qui ont précédé l'arrivée de l'ordinateur, ce qui sont incarnés physiquement par les ordinateurs actuels, et ceux qui sont effectivement utilisés par les programmeurs pour exprimer des algorithmes :













Le fait est que ces modèles, bien qu'équivalents dans un sens assez profond, ne sont manifestement pas la même chose et portent la marque de leur intérêt principal pour leur inventeur.

Globalement, il est facile d'arguer que l'histoire des mathématiques est souvent une histoire de leur utilisation pratique, par exemple, que les fonctions trigonométriques ont la forme qu'elles ont à cause des besoins des astronomes et des navigateurs :





Si les mathématiques sont découvertes et non construites, force est de constater que les parties des mathématiques qui sont découvertes par l'humanité sont déterminées par des éléments très concrets en général ; il me semble assez probable que pas mal de théories mathématiques apparemment très abstraites ne pouvaient apparaître que dans des sociétés ayant un fort degré de sophistication matérielle. Je pense en particulier à la question de l'axiomatisation et des bases logiques des maths qui n'a pas l'air d'avoir beaucoup bougé entre Euclide et le moment du XIXe siècle où on a fini par prouver que le cinquième axiome d'Euclide ne pouvait pas être déduit des quatre autres.

Et si on revient au tout début des mathématiques, du moins dans le monde occidental, il est assez clair que les tout premiers mathématiciens faisaient de l'arithmétique pour la comptabilité, de la géométrie pour le cadastre, pour délimiter des champs.

Il me semble vraisemblable que le théorème de Pythagore a acquis et gardé son importance culturelle en grande partie à cause de ce besoin primordial.

Et du coup, on peut se demander si une culture différente, vivant sur d'autres bases, voire une espèce différente vivant dans un milieu différent, serait vraiment amenée à faire les mêmes mathématiques que nous. Prenons une espèce évoluant dans un milieu liquide, comme les poulpes dans l'océan : est-il raisonnable de présupposer qu'ils auraient besoin de mesurer les côtés des champs et de développer des théorèmes en conséquence ?

Il me paraît assez difficile d'imaginer une intelligence qui n'aurait pas la même conception des nombres naturels mais c'est peut-être un échec de ma propre imagination.

Et ça m'amène à la question de savoir comment on ordonne les concepts en mathématique et jusqu'à quel point ils sont intrinsèquement ordonnés les uns par rapport aux autres. On est habitués à envisager l'apprentissage des mathématiques dans un certain ordre imposé par la scolarité mais il est arbitraire dans une large mesure. On pourrait vraisemblablement enseigner les bases de l'arithmétique modulaire (Terminale S spécialité maths) à la place du théorème de Thalès (programme de quatrième), sans que ce ne soit nécessairement plus difficile à suivre pour les élèves.

Alors nos hypothétiques extra-terrestres inventant les mathématiques dans un milieu complètement différent du nôtre, quels seraient leurs passages obligés ? Y a-t-il des points de départ nécessaire aux mathématiques ? Y a-t-il des recouvrement nécessaires ? Est-il pensable que des concepts qui nous paraissent ultra-complexes et abstraits soient l'enfance de l'art pour eux et réciproquement ?

En tout cas, à mon avis, il n'y a aucune raison de penser que le théorème de Pythagore ou le nombre π auraient pour eux la moindre importance et le caractère "universel" des maths est tout de même à relativiser.
 
 
 
aspexploreraspexplorer on le 28 octobre 2017 08:22 (UTC)
On peut du reste se demander si les mathématiques sont réellement nécessaires pour bâtir une civilisation évoluée. Après tout, on pourrait imaginer une civilisation qui développerait sa technologie empiriquement, qui développerait les moteurs sans rien savoir du cycle de Carnot, en testant ce qui fonctionne le mieux, qui n'aurait que faire des lois de Coulomb pour exploiter l'électricité, et qui arriverait à l'âge de l'ordinateur, qui la libèrerait des contraintes d'optimisation par les simulations numériques.

Fondamentalement, j'ai toujours trouvé que les matheux se la pètent, que leur exigence de démonstration est un pédantisme, si ce n'est une préciosité, et qu'on arrive au bout de l'histoire des mathématiques.
(anonyme) on le 24 novembre 2017 19:30 (UTC)
Sans théorie, l'empirisme pur progresse extrêmement lentement.
Sans maths, pas de théorie, donc pas d'aller-retour entre théorie et pratique, pas de visibilité à long-terme ;
Donc énormément plus de dangers inconnus et incontrôlables ;
Donc un coût de développement faramineux, de même que les durées ;
Donc un progrès scientifique et technologique quasiment au point mort.

Le Créateur Fou, mathématicien malgré lui.